Question

(ITA - 1999) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então:
(A) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
(B) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
(C) C e E são tangentes exteriormente. (D) C e E são tangentes interiormente. (E) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.

Answer 1

Temos que a equação da circunferência é igual a x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0.

Completando quadrado:

x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = -1 + 1 + 1

(x + 1)² + (y + 1)² = 1

A equação da elipse é x² + 4y² - 4x + 8y + 4 = 0.

Completando quadrado:

x² - 4x + 4 + 4(y² + 2y + 1)² = -4 + 4 + 4

(x - 2)² + 4(y + 1)² = 4

$\frac{(x-2)^2}{4}+(y+1)^2=1$

Subtraindo as duas equações, temos que:

$(x + 1)^2 = \frac{(x-2)^2}{4}$

Resolvendo:

4(x² + 2x + 1) = x² - 4x + 4

4x² + 8x + 4 = x² - 4x + 4

3x² + 12x = 0

Colocando o x em evidência:

x(3x + 12) = 0

x = 0

ou

3x + 12 = 0

x = -4

Perceba que x = -4 não satisfaz, pois:

(-4 + 1)² + (y + 1)² = 1

9 + (y + 1)² = 1

(y + 1)² = -8

Não existe raiz real de número negativo.

Logo, x = 0.

Para calcular o valor de y basta substituir em qualquer uma das equações:

(0 + 1)² + (y + 1)² = 1

1 + (y + 1)² = 1

(y + 1)² = 0

y + 1 = 0

y = -1

Portanto, C e E são tangentes exteriormente e o ponto de interseção é (0,-1).

Alternativa correta: letra c).