Question

A corrida aérea mais loca e perfeita. Pilotos de todo o mundo treinados por instituições militares ou civis até da RAF, (Royal Air Force) Força Aérea Real. Os pilotos executam manobras fantásticas como o "looping" com seu avião – manobra acrobática em que a aeronave descreve um arco de circunferência no plano vertical com uma velocidade constante de 540 km/h. O raio da trajetória é igual a 450 m e a massa do piloto é 70 kg. Nessas manobras acrobáticas deve-se considerar que a maior aceleração que o organismo humano pode suportar é 9g , sobre o perigo das fortes acelerações centrípetas que puxam os pilotos durante as curvas fechadas. A temida "força G" faz o sangue descer do cérebro e pode causar a perda de consciência - a última coisa que você quer que aconteça quando você está voando a mais de 500 km/h e a 4 metros da água! (g = aceleração da gravidade).
Com base nos dados fornecidos, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se o raio de trajetória fosse menor do que 250 m, o piloto seria submetido a uma aceleração centrípeta máxima maior do que 9g (nove vezes a aceleração da gravidade).
02. A força centrípeta sobre o piloto, na parte mais baixa da trajetória, é cinco vezes maior do que o seu peso.
04. O piloto é submetido a uma aceleração centrípeta máxima igual a 5g (cinco vezes a aceleração da gravidade).
08. A velocidade mínima para que o avião complete a volta, no topo da trajetória, é igual a 270 km/h.
16. A força que o avião faz sobre o piloto, na parte mais baixa da trajetória, é igual a 4200 N.
32. A força que o piloto faz sobre o avião é igual ao seu peso, em toda a trajetória.
64. O piloto é submetido a uma aceleração centrípeta máxima no topo da trajetória, quando a força de sustentação do avião é mínima.

Answer 1

Vamos lá...

Nomenclaturas:

R = raio.
ac = aceleração centripeta.
P = peso.
N = normal.
v = velocidade.
Fr = força resultante.
g = gravidade.
m = massa.

Aplicação:

Observe que o exercício nos fornece a velocidade executada pelo pelo avião na unidade Km/h, com isso, devemos converter a mesma para m/s.

$540 \div 3.6 = 150m/s.$

Agora que possuímos todos as unidades de medidas de acordo com o Sistema Internacional, devemos criar o nosso diagrama de corpo livre para que possamos conhecer as forças que atuam no sistema avião/piloto (veja na imagem anexada).

"PROPOSIÇÃO 1".

Verdadeiro.

$ac = \frac{ {v}^{2} }{R} \\ \\ ac = \frac{( {150})^{2} }{249} \\ \\ ac = 90.36m/{s}^{2}.$

Perceba que encontramos o módulo da aceleração em relação ao raio descrito pela primeira proposição, por fim, devemos encontrar o valor da aceleração gravitacional para compararmos os valores, veja:

$g = 10m/ {s}^{2}. \\ 9 \times 10 = 90m/ {s}^{2}.$

Portanto, podemos concluir que a proposição 1, é verdadeira, pois para o raio informado o piloto seria submetido a uma aceleração centripeta máxima maior que nove vezes o valor da aceleração gravitacional.

"PROPOSIÇÃO 2".

Verdadeiro. Utilizaremos a Segunda Lei de Newton, onde definiremos o módulo da força centripeta, veja:

$Fr = m \times a. \\ Fr = m \times ac. \\ Fr = m \times \frac{ {v}^{2} }{r} \\ \\ Fr = 70 \times \frac{ {150}^{2} }{450} \\ \\ Fr = \frac{70 \times 22500}{450} \\ \\ Fr = \frac{1.575.000}{450} \\ \\ Fr = 3500N.$

Encontrando o valor da força centripeta, devemos encontrar o valor do peso do piloto, assim:

$P = m \times g. \\ P = 70 \times 10. \\ P = 700N.$

Portanto, comparando o módulo da força centripeta com o módulo da força peso do piloto, torna-se possível afirmar que a PROPOSIÇÃO 2, está carreto, pois 3500N equivale a cinco vezes mais que 700N.

"PROPOSIÇÃO 4".

Verdadeiro. Primeiro, devemos encontrar o módulo da aceleração centripeta, por isso, utilizaremos sua propriedade geral, veja:

$a = \frac{ {v}^{2} }{r} \\ \\ a = \frac{( {150})^{2} }{450} \\ \\ a \: = 50m/ {s}^{2} .$

Agora que encontramos o valor da aceleração centripeta, devemos comparar com a aceleração gravitacional sendo cinco vezes o seu valor informado.

$g = 10m/ {s}^{2} . \\ g = 5 \times 10. \\ g = 50m/ {s}^{2} .$

Portanto, podemos concluir que a PROPOSIÇÃO 4, está carreto.

"PROPOSIÇÃO 8".

Falso. Como estamos tratrando de um movimento circular, o módulo da velocidade é contante, assim como o raio da trajetória.

"PROPOSIÇÃO 16".

Verdadeiro. Observe que queremos encontrar o módulo da força que o avião aplica sobre o piloto na "parte mais baixa" da trajetória.

Com isso, devemos analisar as forças que atuam no corpo, nesse determinado instante, mas já sabemos que o módulo da força normal equivale ao módulo da forca peso.

Dessa forma, o piloto aplica uma força (normal) aparente que possui a mesma direção da aceleração centripeta, assim:

$Fr = m \times a. \\ Fr = m \times ac + N. \\ Fr = m \times \frac{( {v})^{2} }{r} + m \times g. \\ \\ Fr = 70 \times \frac{( {150)}^{2} }{450} + 70 \times 10. \\ \\ Fr = 70 \times 50 + 700. \\ Fr = 3500 + 700. \\ Fr = 4200N.$

Portanto, pudemos afirmar que temos uma proposição verdadeira.

"PROPOSIÇÃO 32".

Falso. Observe que no ponto "mais alto", o módulo da força peso é maior que o módulo da força normal.

"PROPOSIÇÃO 64".

Falso. Sabendo que o módulo da velocidade escalar e o raio são constantes, automática, o módulo da aceleração centripeta também será constante, possuindo o mesmo valor para toda a trajetória descrita.

Por fim, as proposições corretas corresponde aos de número/valores 1, 2, 4 e 16.

Espero ter ajudado!