Há uma lenda que credita a invenção do xadrez a um brâmane de uma corte indiana, que, atendendo a um pedido do rei, inventou o jogo para demonstrar o valor da inteligência. O rei, encantado com o invento, ofereceu ao brâmane a escolha de uma recompensa. De acordo com essa lenda, o inventor do jogo de xadrez pediu ao rei que a recompensa fosse paga em grãos de trigo da seguinte maneira: 1 grão para a casa 1 do tabuleiro, 2 grãos para a casa 2, 4 para a casa 3, 8 para a casa 4 e assim sucessivamente. Ou seja, a quantidade de grãos para cada casa do tabuleiro correspondia ao dobro da quantidade da casa imediatamente anterior.
a) De acordo com a lenda, qual é a quantidade de grãos de trigo correspondente à casa 6 do tabuleiro? E à casa 10?
b) Escreva uma função f que expresse a quantidade de grãos de trigo em função do número x da casa do tabuleiro.
c) Sabendo que o tabuleiro de xadrez possui 64 casas, qual o conjunto domínio da função f?
Respostas
a) Podemos desenvolver uma tabela para descobrir o valor de grãos para as 10 primeiras casas:
Nº da casa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de grãos 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
b) Note que a quantidade de grãos da tabela é sempre um múltiplo de 2, então podemos escrever uma função exponencial de base 2 para representar a quantidade de grãos. Se x representa o número da casa, então a função é f(x) = 2^x/2 ou f(x) = 2^(x-1)
c) Se o máximo de casas é 64 e o mínimo é 1, o domínio de f é o intervalo fechado [1, 64], ou 1 ≤ x ≤ 64.
a) Percebe-se que para cada casa seguinte, corresponde o dobro dos grãos da casa anterior, ou uma potência de base 2 com expoente em ordem crescente.
Assim:
Primeira casa: 1 grão ----------------- 2⁰
Segunda casa: 2 grãos (1+1)---------2¹
Terceira casa: 4 grãos (2+2) --------2²
Quarta casa : 8 grãos (4+4) --------2³
Quinta casa: 16 grãos (8+8) ---------2⁴
Sexta casa : 32 (16 + 16) --------------2⁵
Sétima casa: 64 (32 + 32) -----------2⁶
Oitava casa: ---------------------------- 2⁷
Nona casa: ------------------------------- 2⁸
Décima casa: ------------------------------2⁹
Resposta: 2⁵ (32 grãos na sexta casa) e 2⁹ (512 grãos na décima casa)
b) A função é f(x) = 2ˣ⁻¹ onde f(3) = 2³⁻¹ ⇒ f(3) = 2² ⇒ f(3) = 4
x = casa do tabuleiro e 4 a quantidade de grãos.
c) Se há um mínimo de 1 e máximo de 64 casas. O domínio desta função é o Intervalo fechado [1,64] .