Question

por favor com cálculo

Determine as equações das retas tangente é normal ao gráfico de f (x) = x⁴ no ponto (2,16).

Answer 1

O coeficiente angular da reta tangente à f(x) = x^4 no ponto (2, 16) é dado por f'(x) e o coeficiente angular da reta normal à f(x) = x^4 no ponto (2, 16) é dado por -1/f'(x).

f'(x) = 4x^3
f'(2) = 32

Eq. da reta tangente
y - 16 = 32(x - 2)
y = 32x - 64 + 16
y = 32x -48

Eq. da reta normal
y - 16 = (-1/32)(x -2)
y = (-1/32)x + 1/16 + 16
y = (-1/32)x +257/16

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da reta tangente à curva da referida função polinomial passando pelo referido ponto de tangência, bem como a reta normal, são respectivamente:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 32x - 48\:\:\:}}\end{gathered} }$

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: y = -\frac{1}{32}x + \frac{514}{32}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                       $\Large\begin{cases} f(x) = x^{4}\\ T(2, 16)\end{cases}$

Para montarmos a equação da reta "t" tangente ao gráfico da referida função, passando pelo ponto de tangência "T", podemos utilizar a fórmula do ponto/declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o coeficiente angular é numericamente igual à primeira derivada da função no ponto de abscissa "Xt", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos também que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV", temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (2^{4}) = \left[4\cdot 2^{4 - 1}\right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = \left[4\cdot2^{3}\right]\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = 32\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = 32x - 64\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 32x - 64 + 16\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 32x - 48\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da reta tangente é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 32x - 48\end{gathered}$

Para calcular a equação da reta normal devemos fazer:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y - y_{T} = -\frac{1}{m_{t}}\cdot(x - x_{T})\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = -\frac{1}{32}\cdot(x - 2)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 16 = -\frac{x}{32} + \frac{2}{32}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{x}{32} + \frac{2}{32} + 16\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-x + 2 + 512}{32}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = \frac{-x + 514}{32}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = - \frac{1}{32}x + \frac{514}{32}\end{gathered}$

Portanto, a reta normal é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} n: y = -\frac{1}{32}x + \frac{514}{32}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$