Question

1) Considere os vetores u = (2,-3,2) v = (-1, 2, 4) do R3 .

a) Escreva o vetor w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v

b) Para que valores de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v ?

c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de .

Answer 1

Sendo u = (2,-3,2) e v = (-1,2,4), temos que:

a) (7,-11,2) = a(2,-3,2) + b(-1,2,4)

(7,-11,2) = (2a,-3a,2a) + (-b, 2b, 4b)

(7,-11,2) = (2a - b, -3a + 2b, 2a + 4b)

Assim, temos o seguinte sistema:

{2a - b = 7

{-3a + 2b = -11

{2a + 4b = 2

Da primeira equação, temos que b = 2a - 7.

Substituindo o valor de b na terceira equação:

2a + 4(2a - 7) = 2

2a + 8a - 28 = 2

10a = 30

a = 3

Assim, b = -1.

Portanto,

w = 3u - v.

b) Escrevendo a combinação linear:

(-8,14,k) = a(2,-3,2) + b(-1,2,4)

(-8,14,k) = (2a,-3a,2a) + (-b,2b,4b)

(-8,14,k) = (2a - b, -3a + 2b, 2a + 4b)

Assim, temos o seguinte sistema:

{2a - b = -8

{-3a + 2b = 14

{2a + 4b = k

Da primeira equação, temos que b = 2a + 8.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

-3a + 2(2a + 8) = 14

-3a + 4a + 16 = 14

a = -2

Logo, b = 4.

Portanto,

2.(-2) + 4.4 = k

-4 + 16 = k

k = 12.

c) Queremos que o vetor (a,b,c) seja uma combinação linear de u e v.

Então, temos que:

(a,b,c) = a'(2,-3,2) + b'(-1,2,4)

(a,b,c) = (2a' - b', -3a' + 2b', 2a' + 4b')

Assim,

{a = 2a' - b'

{b = -3a' + 2b'

{c = 2a' + 4b'

Essa é uma condição entre a, b e c.

Answer 2

Resposta:

letra c) c = 16a + 10b

Explicação passo-a-passo:

Para os coeficientes de u, v eu utilizei x e y para melhor compreensão.

(a,b,c) = x(2,-3,2) + y(-1,2,4)

Montamos o sistema:

{a = 2x - y

{b = -3x + 2y

{c = 2x + 4y

Isolamos o y da primeira equação:

a = 2x - y

y = 2x - a

Substituímos na segunda equação para encontrar x em função de a e b:

b = -3x + 2y

b = - 3x + 2(2x - a)

b = -3x + 4x - 2a

b = x - 2a

x = 2a + b

Achamos o valor de y, substituindo em y = 2x - a:

y = 2 (2a + b) - a

y = 4a + 2b - a

y = 3a + 2b

Substituímos x e y na terceira equação para encontrar o valor de c em função de a e b.

c = 2x + 4y

c = 2(2a + b) + 4(3a + 2b)

c = 4a + 2b + 12a + 8b

c = 16a + 10b