Dado um ponto P no interior de um retângulo ABCD , de diagonais ac e db , mostre que AP^2+CP^2=BP^2+DP^2 .
Respostas
Não sabemos exatamente onde está o ponto P. Então, o colocamos dentro do retângulo em qualquer lugar.
Agora, dividimos o retângulos em 4 retângulos menores, passando pelo ponto P. Assim, os segmentos AP, DP, BP e DP serão diagonais em cada um desses 4 retângulos.
Agora, chamamos de E o ponto de encontro do segmento perpendicular com o lado AD; e de F o ponto de encontro do segmento perpendicular com o lado DC. Chamemos suas medidas de x e de y, respectivamente, para facilitar o cálculo, e F os pontos por onde passa a linha vertical do ponto P.
Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos:
(I) AP² = (AD - x)² + y²
(II) CP² = (AB - y)² + x²
(III) BP² = (AB - y)² + (AD - x)²
(IV) DP² = x² + y²
Somando (I) e (II), temos:
(AD - x)² + y² + (AB - y)² + x²
(AD - x)² + (AB - y)² + y² + x²
E somando (III) e (IV), temos:
(AB - y)² + (AD - x)² + x² + y²
São iguais!
(I) + (II) = (III) + (IV)
AP² + CP² = BP² + DP²
Veja a figura abaixo para entender melhor.
