Respostas
n = 20
a1 = 13
a2 = 15
r = a2 - a1 = 15 - 13 = 2
r = 2
Termo Geral da PA:
an = a1 + (n - 1).r
a20 = a1 + (20 - 1).r
a20 = a1 + 19r
a20 = 13 + 19.2
a20 = 13 + 38
a20 = 51
(13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51)
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (13, 15, 17, 19,...), tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 13
b)vigésimo termo (a₂₀): ?
c)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)
d)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 15 - 13 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₀ = 13 + (20 - 1) . (2) ⇒
a₂₀ = 12 + (19) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₂₀ = 13 + 38 ⇒
a₂₀ = 51
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O 20º termo da P.A(13, 15, 17, 19, ...) é 51.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₂₀ = 51 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
51 = a₁ + (20 - 1) . (2) ⇒
51 = a₁ + (19) . (2) ⇒
51 = a₁ + 38 ⇒ (Passa-se 38 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
51 - 38 = a₁ ⇒
21 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 21 (Provado que a₂₀ = 51.)
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