Question

Na figura a seguir, a pirâmide de vértice A tem por base uma das faces do cubo de lado k. Se a área lateral dessa pirâmide é 4+4V2, então o volume do sólido contido no cubo e externo à pirâmide é:

Answer 1

As alternativas são:

a) 8/3

b) 16

c) 8

d) 4/3

e) 16/3

Solução

Perceba que a área lateral da pirâmide é igual a área de 4 triângulos retângulos, sendo que:

Dois triângulos possuem a base a altura medindo k

Dois triângulos possuem a base medindo k e a altura medindo k√2.

Sabendo que a área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura, então:

$Al=\frac{k.k}{2}+\frac{k.k}{2}+\frac{k.k\sqrt{2}}{2}+\frac{k.k\sqrt{2}}{2}$

$Al=\frac{k^2}{2}+\frac{k^2}{2}+\frac{k^2\sqrt{2}}{2}+\frac{k^2\sqrt{2}}{2}$

Al = k² + k²√2

Como a área lateral dessa pirâmide é 4 + 4√2, então:

k² + k²√2 = 4 + 4√2

Assim, concluímos que k = 2.

O volume do sólido é igual ao volume do cubo menos o volume da pirâmide.

Assim,

$V = 2^3-\frac{1}{3}.2^2.2$

$V=8-\frac{8}{3}$

$V=\frac{16}{3}$

Portanto, a alternativa correta é a letra e).