Question

01 -
Dois alunos estavam trabalhando com a
sequência 2–5, 2–4, 2–3,..., 218, 219, quando um
outro aluno aproveitou a oportunidade e
construiu uma matriz An×n com esses números,
sem repetir qualquer deles. Depois disso, lançou
um desafio aos amigos, perguntando a relação
entre det(2A) e det(A). Qual a resposta a esse
desafio?
a) det(2A) = det(A)
b) det(2A) = 3det(A)
c) det(2A) = 16 det(A)
d) det(2A) = 32det(A)
e) det(2A) = 81det(A)

Answer 1

Ok, então vamos lá:

Quando multiplicamos uma fileira - linha ou coluna - de uma matriz por um número x, o determinante dessa matriz também se multiplica por x. Nesse caso, quando multiplicamos a matriz inteira por um número x, é como se multiplicássemos cada fileira dessa matriz por x. Ou seja, se a matriz tiver 3 linhas e colunas, e multiplicarmos ela por 2, o determinante dela seria multiplicado por 2 x 2 x 2, ou seja 2³. E essa é uma regra geral: ao multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem N por um número X, seu determinante fica multiplicado por X^N.

Então dá pra perceber que os elementos da matriz em si não influenciam em nada na resposta, e sim a quantidade deles. Como a sequencia vai de 2⁻⁵ a 2¹⁹, incluindo 2⁰, existem 25 elementos pra se distribuir nessa matriz quadrada. Então é uma matriz 5x5: sua ordem é 5.

Logo, det(2A) = 2⁵ det(A) = 32 det(A). A resposta é a letra D.