Question

esboce o gráfico da seguinte função polinomial: f(x)=x.(x+1).(x-2).(x-3)?
esboce o gráfico da função polinomial f(x)=x.(x+1).(x-2).(3x-7)?

Answer 1

Para esboçar o gráfico da função do 4° grau f(x) = x(x + 1)(x - 2)(x - 3) vamos utilizar a derivada.

Lembrando que:

A primeira derivada determinará o intervalo no qual a função é crescente ou decrescente

e

A segunda derivada determinará o intervalo no qual a concavidade é para cima ou para baixo.

Sendo f(x) = x(x + 1)(x - 2)(x - 3), temos que:

f(x) = x⁴ - 4x³ + x² + 6x

Derivando:

f'(x) = 4x³ - 12x² + 2x + 6

f''(x) = 12x² - 24x + 2

Então:

f'(x) > 0 ⇔ $\frac{2-\sqrt{10}}{2}<x<1$ ou $x > \frac{2+\sqrt{10}}{2}$

f'(x) < 0 ⇔ $x < \frac{2-\sqrt{10}}{2}$ ou $1 < x < \frac{2+\sqrt{10}}{2}$

Portanto f é crescente no intervalo $(\frac{2-\sqrt{10}}{2},1) U (\frac{2+\sqrt{10}}{2},\infty)$ e decrescente no intervalo $(-\infty, \frac{2-\sqrt{10}}{2})U(1,\frac{2+\sqrt{10}}{2})$.

f''(x) > 0 ⇔ $x < \frac{6-\sqrt{30}}{6}$ ou $x > \frac{6+\sqrt{30}}{6}$

f''(x) < 0 ⇔ $\frac{6-\sqrt{30}}{6}<x<\frac{6+\sqrt{30}}{6}$

Portanto, o gráfico de f possui concavidade para cima no intervalo $(-\infty,\frac{6-\sqrt{30}}{6})U(\frac{6+\sqrt{30}}{6},\infty)$ e possui concavidade para baixo no intervalo $(\frac{6-\sqrt{30}}{6},\frac{6+\sqrt{30}}{6})$.

O gráfico da função está anexado abaixo.