Question

Ajudem por favor!!!
Considere um triângulo com vértices A (-2, 5) B (1, 8) e C ( 1, 5) determine.
A) Os pontos médios dos lados
B) O perímetro desse triângulo
C) A medida das medianas deste triângulo
D) As coordenadas do baricentro

Answer 1

Bem, isso vai ser bem longo. Vamos lá.

Dado uma reta AB qualquer A (Ax,Ay) e B (Bx,By), as coordenadas do ponto médio de AB M(Mx,My) da reta AB serão as médias aritméticas de AB. Ou seja

Mx(A,B)=(|Ax|+|Bx|)/2 = (|-2|+|1|)/2=3/2
Lembre-se do módulo, pois de -2 para 1 são 3 unidades de distância.
My(A,B)=(5+8)/2=13/2
Logo, ponto medio de AB M(A,B)=(3/2,13/2)

Mx(A,C)=(|-2|+1)/2=3/2
My(A,C)=(5+5)/2=5
Logo, ponto médio de AC M(A,C)=(3/2,5)

Mx(B,C)=(1+1)/2=1
My(B,C)=(8+5)/2=13/2
Logo, ponto médio de BC M(B,C)=(1,13/2)

Para achar o perimetro, precisamos achar a medida dos lados. Dado uma reta qualquer AB A(Ax,Ay) e B(Bx,By), tem-se d(A,B)=raiz((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2), logo:

d(A,B)=raiz((1-(-2))^2 + (8-5)^2) = raiz(3^2 + 3^2)=raiz(18)=3*raiz(2)
d(A,C)=raiz((1-(-2))^2 + (5-5)^2)=raiz(3^2)=3
d(B,C)=raiz((1-1)^2 + (5-8)^2)=raiz((-3)^2)=3

Perceba que ABC é um triângulo retângulo em C, de catetos 3 e hipotenusa 3raiz(2). Enfim, o perímetro será a soma dos lados, ou seja, P=3+3+3raiz2=3(2+raiz2)

A mediana de AC será uma reta ligando B ao ponto médio de AC, ou seja: (vou transformar as frações em decimal)
d(B,M(A,C))=raiz((1,5-1)^2 + (5-8)^2)=raiz(9,25)=raiz(37/4)=raiz(37)/2 é a medida da mediana de AC.

A mediana de BC será uma reta ligando A ao ponto médio de BC, ou seja:
d(A,M(B,C))=raiz((1-(-2))^2 + (6,5-5)^2)=raiz(11,25)=raiz(45/4)=raiz(45)/2=3raiz(5)/2 é a medida da mediana de BC.

A mediana de AB será uma reta ligando C ao ponto médio de AB, ou seja:
d(C,M(A,B))=raiz((1,5-1)^2 + (6,5-5)^2)=raiz(0,25+2,25)=raiz(5/2)=raiz(5)/raiz(2)=raiz(10)/2 é a medida da mediana de AB.

Achar o baricentro fica como dever de casa. O baricentro é o encontro das medianas, então basta achar a eq. da reta das 3 medianas e iguala-las. É claro que, igualando a equação de 2 delas já bastará. Bons estudos.