Question

Na figura abaixo, ABCD é um trapézio com base AB e CD medindo 30 cm e 18 cm respectivamente. Os pontos E e F estão nos lados AD e BC de ABCD, respectivamente, sendo que EF é paralelo a AB e DE =5.AE. Os pontos Ge H estão no lado AB de ABCD, sendo que os segmentos de reta DG e CH são perpendiculares a AB. Os pontos I e J são os pontos de interseção de DG e CH com EF, respectivamente.
1) Mostre que EI = 5/6 AG
2) Mostre que CF = 5.BF
3) Calcule a medida do segmento de reta EF.

Answer 1

Bom... primeiramente uma boa observação quanto à essa figura geométrica plana. Sabe-se que prolongando os lados BC e AD respectivamente e almentando as retas EF e AB respectivamente vamos ver exatamente algo parecido com o teorema de tales, isto é, um feixe de retas paralelas em retas transversais. Beleza até ai foi ótimo mas agora a gente tem uma belíssima informação, a de que DE é Paralelo à EA e CD é paralelo à CB respectivamente... Ent se DE é 5.EA podemos fazer semelhança e logo ficaria $\frac{5EA}{EA}  = \frac{CF}{FB}$ cortando EA com EA vemos que a razão de semelhança K = 5 logo $\frac{CF}{FB} = 5$ portanto CF = 5.FB e já provamos o 2°. Agora o primeiro é a mesma ideia, RAZÂO de semelhança, ficaria 6AD/AG = 5AD/EI resolvendo iria dar exatamente EI = 5/6.AG que prova o 1°. Agora o 3° é só observar que EF é base média do trapézio logo o seu valor é a média aritmética entre as bases, ou seja, $\frac{30 + 18}{2} = 24$ ent EF = 24cm