No final de uma festa, ao todo 28 abraços foram trocados. Sabendo que cada um deles cumprimentou todos os outros, quantos amigos estavam na festa?
Respostas
Seja ''n'' o número de pessoas presentes na festa. A combinação dessas ''n'' pessoas 2 a 2 gera uma quantidade de 28 apertos de mão. Então:
Cn,2 = 28
n! / 2! (n - 2)! = 28
n(n - 1)(n - 2)! / (n - 2)! = 56
n(n - 1) = 56
n² - n - 56 = 0
n = (1 + 15)/2 --> n' = 8
n = (1 - 15)/2 ---> n'' = - 7 (descarta pois é negativo)
Então n = 8, havia 8 pessoas na festa..
Havia 8 amigos na festa.
Análise combinatória
O número de abraços é a quantidade de combinações que é possível formar de duas pessoas. Como ordem de escolha não é importante (x abraçar y é o mesmo que y abraçar x), utilizaremos a fórmula de combinação simples.
Cₙ,₂ = n!
2!(n - 2)!
Ao todo foram 28 abraços dados por n pessoas.
28 = n!
2!(n - 2)!
28 = n.(n - 1).(n - 2)!
2(n - 2)!
28 = n.(n - 1)
2
n.(n - 1) = 2.28
n² - n = 56
n² - n - 56 = 0
Agora, é preciso resolver essa equação do 2° grau.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-56)
Δ = 1 + 224
Δ = 225
n = - b ± √Δ
2a
n = - (-1) ± √225
2.1
n = 1 ± 15
2
n' = 16 = 8
2
n'' = - 14 = - 7
2
O número de pessoas não pode ser negativo.
Portanto, a solução é n = 8.
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