Question

1.1.2 Mostre, por indução, a validade das seguintes fórmulas: (a) 1/ 1.3 + 1 /3.5 + · · · + 1 /(2n − 1)(2n + 1) = n /2n + 1 .

Answer 1

Pronto, caso não entenda algum passo, pode perguntar. Mas eu usei o princípio básico da indução

Answer 2

Com o estudo sobre o princípio da indução finita conseguimos mostrar a validade dele na propriedade proposta

Princípio da indução finita

Seja S um conjunto de inteiros positivos com as propriedades

1. 1 ∈ S
2. Se o inteiro k ∈ S então k + 1 ∈ S

Então S é o conjunto de todos os inteiros positivos.

Demonstração: Seja T o conjunto de todos os inteiros positivos que não estão em S e vamos supor que T não é vazio. Simbolicamente

$T=\left\{t;t\notin S\right\}$

Pelo Princípio da Boa Ordenação existe em T um menor elemento, digamos a. Como 1 ∈ S então a > 1. Assim, 0 < a - 1 < a e consequentemente a - 1 ∉ T, pois "a" é o menor elemento de T o que implica que a - 1 ∈ S, pela definição de T. Por 2. segue-se que (a - 1) ∈ S, ou seja, a ∈ S o que contradiz o fato de a pertencer a T. Concluímos que T é vazio e consequentemente  S contém todos os inteiros positivos.

Sendo assim podemos resolver o exercício proposto:

(1) Para k = 1, temos

$\frac{1}{\left(2\cdot 1-1\right)\left(2\cdot 1+1\right)}=\frac{1}{2\cdot +1}\Leftrightarrow \:\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

(2) Suponhamos que para n = k seja verdade, ou seja

$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}(Hipotese)$

(3) Então devo mostrar que seja verdade para k = n + 1, ou seja

$\small\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}$

${Usando\,\,(2)}\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\\\frac{\cancel{(2n+1)}(n+1)}{\cancel{(2n+1)}(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3}\,\,\,\,\,(c.q.p)$

$\boxed{obs}:$

Vale para todos os $\mathbb{N^*}$

Saiba mais sobre indução: https://brainly.com.br/tarefa/5451077

#SPJ2