Question

Sobre a função f:ℝ*→ℝ, dada por f(x)=xx−4 , podemos afirmar:

Seu gráfico tem concavidade para cima em todo domínio.

Seu gráfico tem concavidade para baixo em todo domínio.

Nenhuma das alternativas.

Seu gráfico tem concavidade para cima em .

Seu gráfico tem concavidade para cima em .

bom dia! alguém pode me ajudar com esta questão do anexo?

Answer 1

Dado um f(x) qualquer, a primeira derivada descreve sua inclinação, e a segunda derivada descreve suas concavidades. Ou seja, para f''(x)>0, a concavidade é para cima. Para f''(x)<0, para baixo. f''(x)=0 é um ponto de inflexão.

Vamos derivar x/(x-4)

[x/(x-4)]' = [(x)'(x-4) - x(x-4)']/(x-4)² = [(x-4)-x]/(x-4)² = -4/(x-4)²

Agora vamos derivar -4/(x-4)²

[-4/(x-4)²]' = -4[1/(x-4)²]' = -4[(x-4)^-2]' = -4(u^-2)'(x-4)']   -> u = x-4

-4 * -2/u³ * 1 = 8/u³ = 8/(x-4)³

Logo, f''(x) = 8/(x-4)³

Agora, analisemos seu gráfico:

8/(x-4)³ > 0, x=/= 4 -> Como 8 é positivo, precisamos que (x-4)³ também seja positivo

(x-4)³ > 0     Como o expoente é ímpar

x-4 > 0   -> x > 4  A concavidade é para cima para x>4

8/(x-4)³ < 0, x=/=4

(x-4)³ < 0

x-4 < 0   ->  x < 4   A concavidade é para baixo para x < 4. É fácil ver que em x/(x-4) x=4 é uma indefinição. Enfim, a resposta é a E, concavidade para cima em [4, +inf[. Bons estudos.