Question

Qual a inversa de A= $\left[\begin{array}{ccc}3&4\\1&0\\\end{array}\right]$ ?
( A resposta tem que ser $\left[\begin{array}{ccc}0&1\\ \frac{1}{9}&-\frac{3}{4}\\\end{array}\right]$ )

Answer 1

Dada uma matriz $A$, se existe uma matriz inversa, existe $A^{-1}$ tal que $A.A^{-1} = I$, onde $I$ é uma matriz identidade.
Matriz identidade é uma matriz em que cada elemento da diagonal principal vale 1 e todos os outros valem 0.

                     $A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}x&y\\ z & w} \end{array}\right]$

$A= \left[\begin{array}{cc}3&4\\1&0\end{array}\right]$  $I= \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Basta agora resolver o sistema formado quando multiplicarmos a matriz A pela possível inversa resultando na matriz identidade:

3x + 4z = 1
3y + 4w = 0
1x + 0z = 0
1y + 0w = 1

Pela equação 3, x = 0.
Substituindo x na equação 1, z = 1/4.
Pela equação 4, y = 1.
Substituindo y na 2, w = -3/4

Achamos, então, a transposta 

$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0&1\\ \frac{1}{4} &- \frac{3}{4} \end{array}\right]$