Question

No triângulo ABC, AD a altura BC. Quantos triângulos congruentes satisfazem 1/AB² + 1/AC²= 1/AD² com AD = 2012 e BD e CD ambos inteiros? Note que AB e AC não precisam ser inteiros.

Answer 1

Ao traçarmos a altura AD criamos dois triângulos retângulos: ABD e ACD.

Utilizando o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos, encontramos as seguintes relações:

AB² = BD² + AD² e AC² = CD² + AD².

Do enunciado, temos que $\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}$.

Ou seja,

$\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{1}{AD^2}$

AD²(AB² + AC²) = AB².AC²

AD²(BD² + 2AD² + CD²) = BD².AD² + BD².CD² + AD⁴.AD².CD²

AD².BD² + 2AD⁴ + AD².CD² = BD².AD² + BD².CD² + AD⁴ + AD².CD²

AD⁴ = BD².CD²

(AD²)² = (BD.CD)²

AD² = BD.CD

Como AD = 2012, então:

2012² = BD.CD.

Sabemos que 2012 = 2².503. Assim,

2012² = 2⁴.503².

Agora precisamos calcular a quantidade de divisores de 2012².

Sendo assim,

(4 + 1).(2 + 1) = 5.3 = 15.

Portanto, existem 15 triângulos que satisfazem a relação $\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}$.