Question

$\lim_{x\to0}\frac{\tan\,x-x}{x-\sin\,x}$ é igual a:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 1
e) 4

Answer 1

$\begin{matrix}\lim_{x\to0}\frac{tan(x)-x}{x-sin(x)}\end{matrix}$

se substituir a tendência vamos ter uma indeterminação 0/0 , podendo aplicar L'Hopital (Derivando numerador e denominador)

$\begin{matrix}\lim_{x\to0}\frac{sec^2(x)-1}{1-cos(x)}\end{matrix}$

substituindo a tendência de novo vamos ter outra indeterminação 0/0, podendo aplicar de novo L'Hopital

$\begin{matrix}\lim_{x\to0}\frac{2*tan(x)*sec^2(x)}{sin(x)}\end{matrix}$

Abre a tangente

$\begin{matrix}\lim_{x\to0}\frac{2*\frac{sin(x)}{cos(x)}*sec^2(x)}{sin(x)}\end{matrix}$

simplifica o seno e junta as secantes

$\begin{matrix}\lim_{x\to0}2*sec^3(x)\end{matrix}$

agora substitui a tendência e você chega que:

$\boxed{\boxed{\lim_{x\to0}\frac{tan(x)-x}{x-sin(x)}=2}}$