Question

Encontre uma congruência linear equivalente a equação dada e seu conjunto solução:

a) 4x≡9 mod 51
b) 12x≡331 mod 25

Answer 1

a) 4x ≡ 9 (mod 51)

Primeiramente, temos que calcular o mdc(4,51):

mdc(4,51) = 1

4r + 51s = 1, r, s ∈ Z.

Pelo critério de divisão sucessivas, encontramos que:

1 = 4.13 - 51

ou seja,

r = 13 e s = -1

Assim, 1 = 4.13 + 51.(-1)

1 = 4.13 + 51.50

Logo, o inverso multiplicativo de 4 em Z₅₁ é 13.

Assim,

13.4x ≡ 9.13 (mod 51)

x ≡ 117 (mod 51)

x ≡ 15 (mod 51)

As soluções são os elementos da classe 15 ∈ Z₅₁.

b) 12x ≡ 331 (mod 25).

Da mesma forma, temos que:

mdc(25,12) = 1.

25r + 12s = 1, r, s ∈ Z.

Pelas divisões sucessivas, temos que 25 - 12.2 = 1.

Logo, r = 1 e s = -2.

Assim, 25.1 + 12.(-2) = 1, ou seja, o inverso multiplicativo de 12 em Z₂₅ é 23.

Daí,

23.12x ≡ 331.23 (mod 25)

x ≡ 7613 (mod 25)

x ≡ 13 (mod 25)

Portanto, as soluções são os elementos da classe 13 em Z₂₅.