Question

A questão se referem às informações da tabela a seguir.

Considere a área de uma folha de papel A4, com 297mm de comprimento e 210mm de largura. Dobrando ao meio a folha de papel por sucessivas vezes, são formados retângulos cada vez menores. A tabela a seguir relaciona as medidas e a área dos retângulo obtidos a cada dobragem.


A foIha de papel A4 foi dobrada como mostra a figura a seguir. Se o comprimento do segmento AE é 177 mm, a medida do segmento CE e a área do polígono ABCDE são, respectivamente:


a) 30√65 mm e 37170 mm²
b) 30 √65mm e 49779 mm²
c) 3√13 mm e 49770mm²
d) 20√10 mm e 37170mm²
e) 3√10 mm e 35070mm²


Resposta: (A)

Answer 1

O primeiro passo é analisar o enunciado e o que deve ser procurado, neste caso é:

- A medida do segmento CE;

- A área do polígono ABCDE.

Antes de iniciar a resolver o exercício precisamos saber o tamanho da folha, como na tabela 2 qualquer área é menor do que as áreas da solução, não foi efetuada nenhuma dobra ao meio, então aquela tabela não possui utilidade.

Para calcular a medida de CE, analisaremos o triângulo CDE:

- Como ele é um triângulo retângulo, pois o ângulo D é reto, precisamos descobrir a medida de seus catetos:

> Como a folha foi dobrada, CD = AB = 210mm

> Temos também que: AD = BC = 297mm

> AE é dado no enunciado e vale 177m, temos que DE = AD - AE = 297-177=120mm

-Temos agora o valor dos dois catetos, CD=210 e DE = 120, utilizaremos Pitágoras para encontrar CE, chamarei CE de h:

$CE^2 = CD^2+DE^2 \implies  h^2 = 210^2+120^2 \implies$

$h = \sqrt{210^2+120^2} \implies h = \sqrt{(2.3.5.7)^2+(2^3.3.5)^2}\implies h = \sqrt{2^2.3^2.5^2.7^2+2^6.3^2.5^2} \implies h = \sqrt{(2^2.3^2.5^2).(7^2+2^4)} \implies h=2.3.5\sqrt{7^2+2^4} \implies h=30\sqrt{65}$

Logo, CE mede $30\sqrt{65}$mm

O segundo passo é identificar como calcular a área do triângulo:

- D é um ângulo reto, logo chamarei CD de base e DE é a altura de CDE. O segmento de reta CD mede Como a área do triângulo é (base vezes altura) dividido por dois, temos:

$\frac{CD.DE}{2} = \frac{210.120}{2} = \frac{25200}{2} = 12600$

-Porém, como retiramos 2 vezes a área do triângulo, temos que a área que deve ser removida do retângulo é:

2.12600 = 25200

A área total da folha é:

297.210 = 62370

A área total menos a área dos dois triângulos é:

62370 - 25200 = 37170

Logo, a área do poligono ABCDE é 37170mm².

Assim, a resposta correta é a alternativa a.