Question

Calcule o limite abaixo, caso exista.

$\lim_{x \to 4} \frac{sin(1+\sqrt{x} )}{x-4(\sqrt{x}-1 )}$

Answer 1

Olá!

Temos:

$\lim _{x\:\to \:4}\:\dfrac{sin\left(1+\sqrt{x}\:\right)}{x-4\left(\sqrt{x}-1\:\right)}$

Resolvendo:

$\lim _{x\to \:4}\left(\sin \left(1+\sqrt{x}\right)*\dfrac{1}{x-4\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)$

$\lim _{x\to \:4}\left(\sin \left(1+\sqrt{x}\right)\right) * \lim \:_{x\to \:4}\left(\dfrac{1}{x-4\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)$

Vamos fazer cada parte separada, vejamos:

$\lim _{x\to \:4}\left(\sin \left(1+\sqrt{x}\right)\right)$

$\sin \left(1+\sqrt{4}\right)$

$\sin \left(1+2\right)$

$\boxed{\sin \left(3\right)}$

agora, a outra parte, vejamos:

$\lim _{x\to \:4}\left(\dfrac{1}{x-4\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)$

insira o valor, e verás que x = 4, resultará em um valor positivo para o denominador que se aproxima de zero, portanto no que diverge para o infinito.

$\lim _{x\to \:4}\left(\dfrac{1}{x-4\left(\sqrt{x}-1\right)}\right) = \boxed{\infty}$

Juntando as duas partes, temos:

$= \lim _{x\to \:4}\left(\sin \left(1+\sqrt{x}\right)\right) * \lim \:_{x\to \:4}\left(\dfrac{1}{x-4\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)$

$= \sin \left(3\right) * \infty$

$= \boxed{\boxed{\infty}}\end{array}}\qquad\checkmark$

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Espero ter ajudado, Dexteright02! =)