Os pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem a igualdade |x| + |y| = 1
Determine ou limite uma região. Que região é esta?
Respostas
Vamos determinar os limites da região:
Veja que |x| e |y| serão positivos. Para uma soma qualquer a + b = 1 , a,b >= 0, 0=<a,b<=1. Eles não podem ser maiores que 1, pois um número maior que 1 somado a qualquer número positivo será algo maior que 1. Ou seja, -1=<|x|,|y|=<1. Isso nos diz que o maior valor possível para x ou y é 1 ou -1 (veja que |-1| = 1)
Veja que para x=0, y=+-1
e para y=0, x=+-1. Ou seja, temos quatro pontos, 2 sobre a reta em x=1 e x = -1, e 2 sobre a reta y, em y = 1 e y = -1.
Perceba que para x = 0,9, teremos y = +-0,1. Para x = 0,5, teremos y = +-0,5. Você perceberá que temos um quadrado de lado 1 e coordenadas (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0).
Algebricamente, nós fazemos assim:
|y| = 1-|x|
y = +-(1-|x|)
Temos 2 casos:
y = 1-|x|
Que se divide nos casos 1+-x: 1+x pra x<0(que é uma reta com inclinação 1 que corta y em 1), e 1-x pra x>0 (que é uma reta com inclinação -1 que corta y em 1). Ou seja, teremos para x menor que 0 uma reta que sobe com inclinação 1 até 1, e corta o eixo x em x = -1, e para x maior que 0 uma reta que desce com inclinação 1 a partir de 1, e corta o eixo x em x = 1. É um pouco complicado, ainda mais apenas algebricamente, de visualizar, mas desenhando o gráfico fica bem fácil de visualizar, ainda mais por serem retas.
https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/y%20%3D%201-%5Cleft%7Cx%5Cright%7C
y = |x|-1 (Que também se dividiria nos casos -1+-x, etc...)
https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/y%20%3D%20%5Cleft%7Cx%5Cright%7C-1
Sem dúvida o mais fácil é desenhar os 4 pontos, e perceber que eles se ligam por retas, pois qualquer ponto fora dessas retas somam mais que 1.