Question

determine os valores de m,n e p de modo que se tenha (m+n+p)x4 - (p+1)x³ + (n-p)x + n=2mx³ + (2p+7)x² +5mx=2m

Answer 1

A gente está lidando com igualdade polinomial:

$(m+n+p)x^4-(p+1)x^3+mx^2+(n-p)x+n=2mx^3+(2p+7)x^2 \\ +5mx+2m$

$m+n+p=0 \\ -(p+1)=2m \\ m=2p+7 \\ n-p=5 \\ n=2m \\ \\ perceba \\ \\ -(p+1)=2m \\ -p-1=2(2p+7) \\ -p-4p=14+1 \\ p= \frac{15}{-5} \\ p=-3 \\ \\ m=2p+7 \\ m=2.(-3)+7 \\ m=1 \\ \\ n=2m \\ n=2.1 \\ n=2$

Logo, os valores de p, m e n são respectivamente -3, 1 e 2.

Answer 2

Com o estudo sobre polinômios idênticos os valores de p, m e n são respectivamente –3, 1 e 2.

Polinômios idênticos

Dados dois polinômios P(x) e Q(x), eles serão idênticos quando seus respectivos valores numéricos para um mesmo $x=\alpha \left(\alpha \in \mathbb{R}\right)$ forem iguais. Representa-se que P(x) e Q(x) são idênticos da seguinte forma: P(x)≡Q(x).

• $P\left(a\right)=Q\left(a\right)\rightarrow P\left(x\right)\equiv Q\left(x\right)\left(\forall \alpha \in \mathbb{C}\right)$

Como consequência, os coeficientes dos termos de mesmo grau de cada um dos polinômios serão iguais, ou seja:

• $P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

• $Q\left(x\right)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_2x^2+b_1x+b_0$

se P(x)≡Q(x), então $a_n=b_n,a_{n-1}=b_{n-1},_{....},a_2=b_2,a_1=b_1,a_0=b_0$

Exemplo: Sendo P(x) e Q(x) dois polinômios idênticos, encontre os valores de a,b,c e d.

• $P\left(x\right)=ax^4+\left(3-b\right)x^3-x^2+2x-9$

• $Q\left(x\right)=dx^5+4x^4+2x^3+cx^2+2x+d-9$

Como os polinômios são idênticos, seus coeficientes são iguais. Dessa forma

• 0 = d
• a = 4
• 3-b=2
• -1=c
• 2=2
• -9=d-9

Assim concluímos que a=4,b=1,c=-1 e d =0. Com isso podemos resolver o exercício.

Vamos primeiramente calcular o valor de p

• $\left(m+n+p\right)x^4\:-\:\left(p+1\right)x^3\:+\:\left(n-p\right)x\:+\:n=2mx^3\:+\:\left(2p+7\right)x^2\:+5mx+2m$

• $m\:+\:n\:+\:p\:=\:0$

• $-\left(p\:+\:1\right)\:=\:2m$

• $m\:=\:2p\:+\:7$

• $n\:-\:p\:=\:5$

• $n\:=\:2m$

• $-\left(p\:+\:1\right)\:=\:2m$

• $-p\:-1\:=\:2\:\cdot \:\left(2p\:+\:7\right)$

• $-p-1 = 4p + 14$

• $-p\:-4p\:=\:14\:+\:1$

• $-5p\:=\:15$

• $5p\:=\:-15$

• $p\:=\:-3$

Agora vamos calcular o valor de m

• $m\:=\:2p\:+\:7$

• $m\:=\:2\:\cdot \:\left(-3\right)\:+\:7$

• $m\:=\:-\:6\:+7=1$

E por fim o valor de n

• $n\:=\:2m$

• $n\:=\:2\:\cdot \:1$

• $n\:=\:2$

Portanto, os valores de p, m e n são respectivamente –3, 1 e 2.

Saiba mais sobre polinômios:https://brainly.com.br/tarefa/32522473

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