Question

Determine os valores de a para que a equação |2x+3|+|2x-3|=ax+6 tenha infinitas soluções.

Answer 1

Para que a equação tenha infinitas soluções, ela não pode depender de x. Por exemplo, se ela for do tipo ax+b = cx+d, Ela terá infinitas soluções para a=c e b=d, ou seja, ambos os lados devem ser o mesmo polinomio. Teremos no caso deste exercicio algo do tipo ax^n + bx^m + c + .... = dx^n + ex^m + f...., e vamos precisar igualar os coeficientes.

Elevando ambos os lados ao quadrado:
$4x^{2} +12x+9+2|(2x+3)(2x-3)|+4x^{2}-12x+9 = a^{2}x^{2}+12ax+36 \\ 8x^{2} +2|(4x^{2} -9)| +18 = a^{2}x^{2} +12ax+36 \\ 2|4x^{2}-9| = (a^{2} -8)x^{2}+18$

Elevando ambos os lados ao quadrado
$4(16x^{4}-72x^{2}+81) = x^{4}(a^{2}-8)^{2}+36x^{2}(a^{2}-8)+324$
Precisamos apenas isolar x^4 e x^2 em ambos os lados. Veja que teremos 4*81 = 324, os coeficientes livres são os mesmos, que é um indício que estamos no caminho certo.

$64x^{4}-288x^{2}+324 =(a^{2}-8)^{2}x^{4}+(36a^{2} -288)x^{2}+324$
Logo, precisamos que 64=(a^2 -8)^2 (I) e 36a^2 -288 = -288 (II). É fácil ver que a=0 é solução em ambas as equações. mas continuando:
(I)$64 =a^{4}-16a^{2}+64 \\ a^{4}-16a^{2}=0 \\ a^{2}(a^{2}-16)=0$
a^2 = 0 -> a=0
a^2 -16 = 0 -> a = 4 e a = -4
Porém tem que ser solução nas duas equações. Vamos ver a segunda.

(II) $36a^{2}-288= -288 \\ 36a^2 = 0 \\ a = 0$
Logo, a única solução que satisfaz é a=0