Question

(INTEGRAL)
Encontre a área entre as curvas e os intervalos
a) y1=x^2 e y2=raiz de x, XE (1/4, 1)
Gente o resultado foi 49/192
eu não entendi o processo para achar, alguém por favor me ajude?

Answer 1

Calcule a integral dessas duas curvas, fazendo uma função menos a outra. Se você fizer o desenho, vai ver que a curva √x fica acima da curva x² no intervalo definido.

Calculando a integral, teremos:

$\int_{{1 \over 4}}^{1} \sqrt{x} - x^2 \, dx$

Utilizando $\int_{}^{} x^n = { x^{n+1} \over n+1}$:

${ x^{\frac{1}{2} + 1 } \over \frac{1}{2}+1} - { x^{2+1} \over 2+1} \\\\ { x^{\frac{3}{2}} \over \frac{3}{2}} - { x^3 \over 3 } \\\\ { 2\sqrt{x^3} - x^3 \over 3} \\\\ { 2x\sqrt{x} - x^3 \over 3}$

Aplicando os limites de integração:

$\frac{2 \times 1 \sqrt{1} - {1}^{3} }{3} - \frac{2 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{ \frac{1}{4} } - {( \frac{1}{4}) }^{3} }{3} \\ \\ = \frac{1}{3} - \frac{2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{64} }{ 3} \\ \\ = \frac{1}{3} - \frac{ \frac{1}{4} - \frac{1}{64} }{3} \\ \\ = \frac{1 - \frac{15}{64} }{3} \\ \\ = \frac{ \frac{49}{64} }{3} \\ \\ = \frac{49}{192}$