Question

Dada a figura abaixo, determine: a) Determine as equações reduzidas das duas circunferências. b) Calcule as coordenadas dos pontos A e B, intersecções das duas circunferências. (Sugestão: resolva o sistema com as duas equações obtidas em a). Precisa de esclarecimento?

Answer 1

Perceba que a circunferência menor possui centro em C₁ = (-3,2) e r = 2.

Logo, a equação é (x + 3)² + (y - 2)² = 4.

Além disso, a circunferência menor possui centro em C₂ = (1,1) e r = 3.

Logo, a equação é (x - 1)² + (y - 1)² = 9.

Na primeira equação, temos que:

x² + y² = -6x + 4y - 9

e na segunda equação temos que:

x² + y² = 2x + 2y + 7

Igualando as duas equações acima:

-6x + 4y - 9 = 2x + 2y + 7

-8x + 2y = 16

y = 8 + 4x.

Substituindo o valor de y em x² + y² = -6x + 4y - 9:

x² + (8 + 4x)² = -6x + 4(8 + 4x) - 9

x² + 64 + 64x + 16x² = -6x + 32 + 26x - 9

17x² + 54x + 41 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = 54² - 4.17.41

Δ = 2916 - 2788

Δ = 128

$x=\frac{-54+-\sqrt{128}}{2.17}$

$x=\frac{-54+-8\sqrt{2}}{2.17}$

$x=\frac{-27+-4\sqrt{2}}{17}$

Quando $x=\frac{-27-4\sqrt{2}}{17}$, então $y=\frac{28-16\sqrt{2}}{17}$. Logo, $A=(\frac{-27-4\sqrt{2}}{17},\frac{28-16\sqrt{2}}{17})$.

Quando $x=\frac{-27+4\sqrt{2}}{17}$, então $y=\frac{28+16\sqrt{2}}{17}$.

Logo, $B=(\frac{-27+4\sqrt{2}}{17},\frac{28+16\sqrt{2}}{17})$.