Question

Quantos produtos de 5 fatores diferentes podemos formar com os fatores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Answer 1

conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}


A construção dos Números Naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.


Exemplos: Seja m um número natural.

(a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de 1 é 2. (d) O sucessor de 19 é 20.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.


Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}


Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:



(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.


Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.



Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.


Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?

159 170852 321587 587

Exercício: Representar analíticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

Conjunto N dos números Naturais

Conjunto P dos números Naturais Pares

Conjunto I dos números Naturais Ímpares

Conjunto E dos números Naturais menores que 16

Conjunto L dos números Naturais maiores que 11

Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28

Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10


Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.


, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.