Question

Um grupo de alunos e formado por 6 meninas e 4 meninos. Katia ´e uma das meninas
e Marcelo e um dos meninos. Um professor decide formar grupos de 4 alunos para um determinado jogo. Cada
grupo deve conter pelo menos 1 menina e 1 menino. Escolhendo-se, aleatoriamente, um dos grupos poss´ıveis,
determine a probabilidade de Katia e Marcelo fazerem parte do grupo escolhido

Answer 1

Como queremos formar grupos, então a ordem não é importante.

Assim, utilizaremos a Combinação:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Como o grupo deve ser composto por pelo menos 1 menina e 1 menino, então temos as seguintes possibilidades:

1 menina e 3 meninos;

2 meninas e 2 meninos,

3 meninas e 1 menino.

Assim, as possibilidades de grupos são iguais a:

T = C(6,1).C(4,3) + C(6,2).C(4,2) + C(6,3).C(4,1)

$T = \frac{6!}{1!5!}. \frac{4!}{3!1!}+ \frac{6!}{2!4!}. \frac{4!}{2!2!}+ \frac{6!}{3!3!}. \frac{4!}{1!3!}$

T = 6.4 + 15.6 + 20.4

T = 24 + 90 + 80

T = 194.

Agora, vamos calcular a quantidade de grupos em que Kátia e Marcelo estão juntos.

Sendo assim, temos as seguintes possibilidades:

Kátia, Marcelo e mais 2 meninas;

Kátia, Marcelo, 1 menina e 1 menino;

Kátia, Marcelo e mais 2 meninos.

Assim,

T' = C(4,2) + C(4,1).C(2,1) + C(2,2)

$T'=\frac{4!}{2!2!} +\frac{4!}{1!3!} .\frac{2!}{1!1!} +\frac{2!}{2!0!}$

T' = 6 + 4.2 + 1

T' = 7 + 8

T' = 15.

Portanto, a probabilidade de, ao escolher um grupo, Kátia e Marcelo fazerem parte do mesmo é de:

$P=\frac{15}{194}$.