Question

O cálculo sempre se mostrou como uma das técnicas mais poderosas da matemática, sendo estudada pelos mais variados filósofos dos séculos passados. Porém foi no Século XVII que o Cálculo começou a dar seus primeiros passos. Ainda hoje é possível encontrar muitas controvérsias a respeito do descobrimento do Cálculo Diferencial e Integral. Porém, para que este trabalho não prolongue por anos e anos de histórias acerca de diversas discussões, o foco ficará na maior delas, na que ficou conhecida como A Guerra do Cálculo. Fonte:Disponivél em:
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Answer 1

olá :)

Sabemos que a área abaixo de uma curva entre um intervalo [ab] pode ser calculada atraves da integral definida.

Calculando a integral indefinida primeiramente:

$\int\limits{\frac{2}{\sqrt{2-x^2} } } \, dx=2\int\limits{\frac{1}{\sqrt{2-x^2} } } \, dx$

Fazendo uma substituição $x=\sqrt{2}\sin \left(u\right)$

$2\int\ {\frac{\sqrt{2}cos(u) }{\sqrt{2-2sen^2(u)} } } \, du=2\sqrt{2} \int\ {\frac{cos(u) }{\sqrt{2-2sen^2(u)} } } \, du=2\sqrt{2} \int\ {\frac{cos(u) }{\sqrt{2}\sqrt{1-sen^2(u)} } } \, du\\\\\mathrm{\:sendo}\:\:1-\sin ^2\left(x\right)=\cos ^2\left(x\right)\\\\2\sqrt{2} \int\ {\frac{cos(u) }{\sqrt{2}\sqrt{cos^2(u)} } } \, du \\\\\mathrm{\:sendo}\: \sqrt{\cos ^2\left(u\right)}=\left(\cos \left(u\right)\right) \mathrm{\:assumindo\:que}\:\cos \left(u\right)\ge 0$

$2\sqrt{2}\cdot \int \:\frac{\cos \left(u\right)}{\cos \left(u\right)\sqrt{2}}du = 2\sqrt{2}\cdot \int \:\frac{1}{\sqrt{2}}du = 2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}u\\\\\mathrm{Substituir}\:u=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}x\right)\\\\2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}x\right)+C$

$\mathrm{Calcular\:os\:limites}:\quad \int _0^{\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}dx:\quad\int _0^{\sqrt{2}}\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}dx=\pi -0$

resposta: $\pi$

Answer 2

alternativa c) Pi  a.u.