Question

para formar uma comissão com 7 alunos, se candidataram 6 do EF e 4 do EM. Quantos formas que sempre exista pelo menos um aluno do EM participando?

Answer 1

Como queremos formar comissões, então a ordem não é importante.

Portanto, utilizaremos a fórmula da Combinação:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Na comissão deverá ter pelo menos um aluno do Ensino Médio. Como existem 6 alunos do Ensino Fundamental e 4 alunos do Ensino Médio, então temos as seguintes possibilidades:

1 aluno do Ensino Médio e 6 alunos do Ensino Fundamental;

2 alunos do Ensino Médio e 5 alunos do Ensino Fundamental;

3 alunos do Ensino Médio e 4 alunos do Ensino Fundamental,

4 alunos do Ensino Médio e 3 alunos do Ensino Fundamental.

Sendo assim,

T = C(4,1).C(6,6) + C(4,2).C(6,5) + C(4,3).C(6,4) + C(4,4).C(6,3)

$T=\frac{4!}{1!3!} .\frac{6!}{6!0!}+ \frac{4!}{2!2!} .\frac{6!}{5!1!} +\frac{4!}{3!1!} .\frac{6!}{4!2!} +\frac{4!}{4!0!} .\frac{6!}{3!3!}$

T = 4.1 + 6.6 + 4.15 + 1.20

T = 4 + 36 + 60 + 20

T = 120

Portanto, podemos formar 120 comissões diferentes de acordo com as especificações dadas.