Question

Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) =2x + 1 e g(x)= x² + 3. É correto afirmar que a função f[g(x)], composta de g e f é:
a)bijetora
b)ímpar
c)par
d)injetora e não sobrejetora
e)n.d.a.

Answer 1

$f(g(x))=f(x^{2}+3)=2(x^{2}+3)+1=2x^{2}+6+1=2x^{2}+7 \\ f[g(x)]=2x^{2}+7$

Está é uma função quadratica, ou seja, seu gráfico é uma parábola. Logo, há 2 valores diferentes de x para um y em seu dominio (com exceção no vertice), então a função não é sobrejetora e consequentemente não é bijetora.

Vamos checar sua paridade. Primeiro, Se é par.
$f(x) = f(-x) \\ 2x^{2}+7=2(-x)^{2}+7 \\ 2x^{2}+7=2x^{2}+7$

Logo, a função é par.
É fácil perceber geometricamente que, como não temos um x^1, o vértice da parábola está centrada, exatamente sobre o eixo y. Logo, a função é espelhada no eixo y, e consequentemente é par. O que translada um gráfico de uma parábola ax^2 +bx+c é o bx. Como não há bx, eu ja sabia que ela estava centrada e era par. Fica esta dica, mas é sempre bom saber provar algebricamente como acima e funcionará para qualquer caso. Bons estudos.
Obs: É óbvio também que a função não é injetora, como afirma a d) pois seu contradominio foi definido como todo o conjunto dos reais, pois qualquer parábola tem um vértice, ou seja, um valor de mínimo ou máximo. Logo, nunca assumirá TODO os reais, apenas os valores que a parábola assume, que poderíamos encontrar achando seu valor mínimo e portando a função assume apenas os valores maiores que seu valor mínimo.