Question

Seja $f:R\rightarrow R$ definida por:
$\begin{pmatrix} x^{2} & se \ x \geq 3 \\ 2x+3 & se \ x \ \textless \ 3 \\ \end{pmatrix}$

A f é contínua no ponto $x_0=3$?
Demonstrar.

Answer 1

Boa tarde, Maria !!

Para existir continuidade é necessário que :

- os limites laterais sejam iguais.

$\lim_{x \to \ a^-} f(x)=\lim_{x \to \ a^+} f(x)$

- a função do ponto onde vamos aplicar o limite tb deve estar definida.

$f(a) => OK!$

- e, por ultimo, o limite do f(x) deve ser igual a função do ponto que aplicaremos o limite

$\lim_{x \to \ a} f(x) = f(a)$

vamos ver se os limites laterais são iguais..

$\lim_{x \to \ 3 ^+} x^2 => 3^2 = 9$

$\lim_{x \to \ 3^-} 2x+3=> 2.3+3=> 9$

limites laterais iguais

a função do ponto está definida, pois tanto para o x = 3 e x diferente de 3, estão definidas lá em cima..

agr nos resta saber se o limite é igual ao ponto..

$\lim_{x \to \ 3} f(x)=f(a)=>\lim_{x \to \ 3} f(x)=f(3)=>\lim_{x \to \ 3} 2x + 3=x^2=>\lim_{x \to \ 3} 9=9$

É contínuo !!    ✌(ツ)