Um veículo cujo valor à vista é R$ 42.000,00 está sendo financiado em 60 parcelas mensais e iguais, sob o regime de taxa de juros compostos de 2% a.m., tendo o início de seus pagamentos após 3 meses do ato da compra.
Assinale a alternativa que corresponde o valor das parcelas desse financiamento.
Selecione uma alternativa:
a)
R$ 1.112,75.
b)
R$ 1.752,01.
c)
R$ 1.701,25.
d)
R$ 1.012,57.
e)
R$ 1.257,10.
Respostas
As variáveis do problema são:
PV (valor presente) = 42000
i (taxa de juros) = 2% a.m. ⇒ 0,02 a.m.
n (número de parcelas) = 60 meses
Primeiramente, calculamos o coeficiente de financiamento pela seguinte fórmula:
CF = i
1 - (1 + i)⁻ⁿ
CF = 0,02
1 - (1 + 0,02)⁻⁶⁰
CF = 0,02
1 - (1,02)⁻⁶⁰
CF = 0,02
1 - 0,30
CF = 0,02
0,70
CF = 0,028
Como ele só iniciou o pagamento no terceiro mês, o montante é:
M = P.(1 + i)ⁿ⁻³
M = 42000.(1 + 0,028)²
M = 42000.1,0404
M = 43696,80
Valor da prestação
P = M · CF
P = 43696,80 · 0,028768
P≅ 1257,07
Alternativa E.
=> Estamos perante um exercício de uma Série Uniforme de Capitais ..Postecipada com carência
Podemos resolver este exercício de 2 formas:
1ª FORMA:
Utilizando o conceito de “Coeficiente de Financiamento” (CF) e aí temos de decompor a resolução “em partes”, a saber:
=> Calcular o CF para a parte “continua” da operação (período dos pagamentos)
=> Capitalizar o Valor Inicial (á vista) para o “momento 3”
E aqui não nos podemos esquecer que é uma série postecipada ..logo o período de capitalização NÃO É de 3 meses ..mas apenas de 2 meses
=> Por fim efetuar o cálculo entre o valor capitalizado e o CF
2ª FORMA:
Abordar a questão de uma forma matematicamente mais correta ..ou seja abordar a questão como uma Série Uniforme de Pagamentos Postecipada com carência
1ª FORMA – RESOLUÇÃO:
O cálculo das parcelas será dado por:
PMT = VA(*) , CF
onde
PMT = Valor da parcela
VA(*) = Valor Atual, neste caso como existe um período de carência o VA terá de ser capitalizado ao "momento 3" do financiamento
CF = coeficiente de Financiamento
como
CF = i/[1 - 1/(1 + i)ⁿ] ...onde i = 2% ..ou 0,02 (de 2/100)
donde resulta ..substituindo:
CF = 0,02/[1 - 1/(1,03)⁶⁰]
CF = 0,02/[1 - 1/(3,281031)]
CF = 0,02/(1 - 0,304782)
CF = 0,02/0,695218
CF = 0,028768 <= coeficiente de Financiamento
Capitalização do Valor á vista (VA) para o "momento 3" do financiamento VA(₃):
VA(₃) = VA . (1 + i)⁽ⁿ⁻¹⁾
onde
VA(₃) = Valor atual calculado ao "momento 3", neste caso a determinar
VA = Valor Atual, neste caso VA = 42000
n = número de períodos de capitalização, neste caso será "n - 1" ...porque é uma série postecipada (muito importante ter atenção a este pormenor)
Resolvendo:
VA(₃) = VA . (1 + i)⁽ⁿ⁻¹⁾
VA(₃) = 42000 . (1 + 0,02)⁽³⁻¹⁾
VA(₃) = 42000 . (1 + 0,02)²
VA(₃) = 42000 . (1,02)²
VA(₃) = 42000 . (1,0404)
VA(₃) = 43.696,80 <= Valor capitalizado ao "momento 3"
Retomando a nossa fórmula inicial para calculo das parcelas:
PMT = VA(*) , CF
..substituindo
PMT = 43.696,80 . 0,028768
PMT = 1.257,07 <= Valor das parcelas do financiamento
(note que não efetuamos nunca nenhum arredondamento ao longo do calculo pelo que podem haver diferenças de "centimos" em relação a alguns gabaritos)
2ª FORMA - Resolução:
Abordar a questão de uma forma matematicamente mais correta ..ou seja abordar a questão como uma Série Uniforme de Pagamentos Postecipada com carência
Temos a fórmula da Série de pagamentos Postecipada ...com carência:
PMT = VA . { [(1 + i)⁽ˣ⁻¹⁾ . i]/[1 - (1 + i)⁽⁻ⁿ⁾] }
Onde
PMT = Valor da parcela, neste caso a determinar
VA = Valor Atual (á vista), neste caso VA = 42000
i = Taxa de Juro da aplicação, neste caso i = 0,02
x = Período de carência, neste caso x = 3
n = Número de "ciclos" de pagamentos (número de parcelas), neste caso n = 60
Substituindo e resolvendo:
PMT = VA . { [(1 + i)⁽ˣ⁻¹⁾ . i]/[1 - (1 + i)⁽⁻ⁿ⁾ ] }
PMT = 42000 . { [(1 + 0,02)⁽³⁻¹⁾ . 0,02]/[1 - (1 + 0,02)⁽⁻⁶⁰⁾ ] }
PMT = 42000 . { [(1,02)⁽²⁾ . 0,02]/[1 - (1,02)⁽⁻⁶⁰⁾ ] }
PMT = 42000 . { [(1,0404) . 0,02]/[1 - (0,304782) ] }
PMT = 42000 . [ (0,02808)/(0,695218) ]
PMT = 42000 . 0,02993
PMT = 1.257,07 <= valor de cada parcela do financiamento
(note que não efetuamos nunca nenhum arredondamento ao longo do calculo pelo que podem haver diferenças de "centimos" em relação a alguns gabaritos)
Espero ter ajudado