Question

um aluno do 3º ano do ensino médio escreveu uma progressão aritmética crescente com cinco termos e falou para o seu irmão mais novo, do 1º ano do ensino médio, que o produto entre os termos extremos era 48 e que a soma dos demais era igual a 12. se o irmão mais velho perguntou qual seria a razão da progressão, qual é a resposta do irmão mais novo?

Answer 1

PA: {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅}

"o produto entre os termos extremos era 48"

a₁.a₅ = 48

"a soma dos demais era igual a 12"

a₂ + a₃ + a₄ = 12

Podemos representar esses termos assim:

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₁ + 2r

a₄ = a + 3r

Logo:

(a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) = 12

3a₁ + 6r = 12  simplificando...

a₁ + 2r = 4

Logo:

a₁ = 4 - 2r

Podemos representar a₅ assim:

a₅ = a₁ + 4r

Logo:

a₅ = 4 - 2r + 4r

a₅ = 4 - 2r

Substituindo a₁ e a₅ na primeira equação, temos:

a₁.a₅ = 48

(4 - 2r).(4 - 2r) = 48

16 - 8r - 8r + 4r² = 48

4r² - 16r + 16 = 48

4r² - 16r + 16 - 48 = 0

4r² - 16r - 32 = 0

Resolvendo a equação do 2° grau, encontramos os seguintes valores para r.

r = 8 + 2√3  ou  r = 8 - 2√3

Resposta: A razão é 8 + 2√3 ou 8 - 2√3