Question

Ajuda questão de matemática


A figura fora de escala a seguir representa o esboço do projeto para a construção de um canteiro


retangular:


Sabendo que as medidas dos lados desse retângulo são AB = 3 m e BC = 1 m, e que M é o ponto


médio das diagonais, qual é o valor do cosseno do ângulo assinalado?



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Em anexo a imagem do Exercício.



Por favor responde o mais DETALHADO possível, tentei somar os dois Coss 45° para chegar em um de 90°, Pitagoras, lei do consseno ,



Na verdade entendi quase nada desta Questão, Por isso preciso de uma explicação bem detalhada, Por favor !!!

Answer 1

Você esqueceu de anexar a imagem do exercício, mas aqui esta uma bastante semelhante para auxiliar nos seus estudos.

Primeiramente, perceba: o exercício nos dá a medida de AB e BC. Os pontos ABC ao serem ligados foram um triângulo retângulo, que está em vermelho.

Quando temos um triângulo retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para descobrir qual é a medida de um dos lados desconhecidos. Nesse caso, o lado AC é a medida que queremos descobrir.

Fazendo o teorema, temos:

AC² = AB² + BC²

AC² = 3² + 1²

AC = √10

Segundo o enunciado, o ponto M é o ponto médio da diagonal AC. Então o seguimento MC e MB medem ambos √10/2.

Nesse caso, agora precisamos dividir esse ângulo em 2 duas partes. Cada parte vale vai ser representada por um angulo α. Portanto, o angulo inteiro mede 2α

Como mostra a imagem. Sabemos que essa reta preta que criamos mede 3/2, pois ela é exatamente a metade de AB.

Agora, podemos enfim calcular o valor de cos α

$cos\alpha = \frac{ \frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{10} }{2}}=\frac{3}{2}*\frac{2}{\sqrt{10} }=\frac{3}{\sqrt{10}}$

Racionalizando: $cos\alpha =  \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Vamos achar o cosseno do angulo inteiro, 2α, com a seguinte fórmula:

cos(2x) =  2.cos²x - 1

Então cos(2α) = 2(3√10/10)² - 1 = 2(9*10/100) - 1 = 4/5

RESPOSTA: 4/5