Question

Se f: {1,2,3....,n}-> IR é a função definida por favor(x)=4.(2x-1), então soma de todos os números qe estão na imagem de f é:???

Answer 1

f(x) = 4.(2x - 1)

-> f(x) = 8x - 4

f : {1,2,3, ...., n} -> IR

O conjunto domínio é uma P.A de razão 1, e a função é de 1º grau. Toda vez que tiver o domínio como sendo uma P.A, o conjunto imagem também irá ser uma P.A, e a razão dos valores do conjunto imagem vai ser igual a razão da P.A do domínio vezes o coeficiente angular (a).

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Exemplificando:

Vou usar uma função qualquer e um conjunto domínio de razão 2.

f(x) = a.x + b

f(x) = 2x - 6

Coeficiente angular (a) = 2

f(2) = 2.2 - 6 = 4 - 6 = -2

f(4) = 2.4 - 6 = 8 - 6 = 2

f(6) = 2.6 - 6 = 12 - 6 = 6

Domínio: {2, 4, 6}

Razão do domínio: 2

Imagem: {-2, 2, 6}

Razão do conjunto imagem = coeficiente angular (a) . razão do domínio

= 2 . 2 = 4

Ou seja, imagem de f(x) = 2x - 6 é uma P.A crescente de razão 4.

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Com isso, podemos afirmar que para encontrar a soma de todos os números que estão na imagem de f, teremos que usar a fórmula da soma dos termos da P.A.

Calculando:

Primeiro vamos achar o primeiro termo da imagem que é a imagem do primeiro valor do conjunto do domínio, 1, que é:

f(x) = 4.(2x - 1)

f(x) = 8x - 4

f(1) = 8.1 - 4

f(1) = 4

E o último termo da P.A da imagem.

f(n) = 8.n - 4

f(n) = 8n - 4

Domínio : {1,2,3...., n}

Imagem : {4,...,8n - 4}

Fórmula da soma dos termos de uma P.A:

Sn = (a1 + an).n /2

a1 -> Primeiro termo = 4

an -> Último termo = 8n - 4

n -> Número de termos da P.A

-> Sn = (4 + 8n - 4).n /2

-> Sn = (4 - 4 + 8n).n /2

-> Sn = ( 0 + 8n).n /2

-> Sn = 8n^2 /2

-> Sn = 4n^2

Resposta: Letra d, 4n^2.