Question

Obtenha o valor da área (unidades de área, u.a) sob o gráfico da função f(x) = ax2+bx+c limitada
pelas coordenadas A (0,0) e B (4,0). Considere a= 0,5; b= 0,1 e c=2 e responda o que se pede
abaixo:

a) O que se pode concluir sobre o valor obtido ao utilizarmos retângulos aproximantes superiores
e inferiores para a essa estimativa quando o número de subintervalos aumenta?

b) O valor obtido a partir do cálculo da área com integral é maior, menor ou igual ao obeservado
quando se utiliza a técnica a ser aplicada no item a? Explique o motivo das diferenças
observadas.

c) Represente o gráfico da área delimitada no intervalo referido acima.

Answer 1

A) Para retângulos aproximantes superiores, utilizando 4 retângulos de base igual a 1, obteremos:

R1: x = 1 → A1 = f(1) = 0,5 + 0,1 + 2  = 2,6

R2: x = 2 → A2 = f(2) = 2 + 0,2 + 2  = 4,2

R3: x = 3 → A3 = f(3) = 4,5 + 0,3 + 2  = 6,8

R4: x = 4 → A4 = f(4) = 8 + 0,4 + 2 = 10,4

Somando as áreas, obtemos Atotal = 24 u.m.²

Utilizando triângulos aproximantes inferiores, temos:

R1: x = 0 → A1 = f(0) = 0 + 0 + 2 = 2

R2: x = 1 → A2 = f(1) = 0,5 + 0,1 + 2  = 2,6

R3: x = 2 → A3 = f(2) = 2 + 0,2 + 2  = 4,2

R4: x = 3 → A4 = f(3) = 4,5 + 0,3 + 2  = 6,8

Atotal = 15,6.

Quando o número de subintervalos aumenta, o erro causado pela diferença na curva e nos retângulos diminui fazendo com que os valores convirjam para uma aproximação da área exata.

B) Resolvendo a integral:

$\int\limits^4_0 {0,5x^2 + 0,1x + 2} \, dx = \dfrac{0,5x^3}{3} + \dfrac{0,1x^2}{2} + 2x\\ \\ \int\limits^4_0 {0,5x^2 + 0,1x + 2} \, dx = \left[\dfrac{0,5*4^3}{3} + \dfrac{0,1*4^2}{2} + 2*4 \right] - \left[\dfrac{0,5*0^3}{3} + \dfrac{0,1*0^2}{2} + 2*0 \right]\\ \\  \int\limits^4_0 {0,5x^2 + 0,1x + 2} \, dx = 19,47 - 0 = 19,47\ u.m. ^2$

Portanto, o valor obtido está entre o intervalo do método anterior, porém menor que o valor obtido para os triângulos superiores. A integral aplica o método dos retângulos para um número infinito de subintervalos, fazendo com que os erros sejam mínimos.