Question

Sendo x um número real positivo,  a=$\frac{2}{(x+1) ^{2} }$  e b = $\sqrt{ 1-\frac{(x-1) ^{2} }{(x+1) ^{2}} }$, então $\frac{a}{b}$ vale: 

Answer 1

Vamos simplificar a expressão b:

$b=\sqrt{1-\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}} \\ \\ b=\sqrt{\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}-\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}} \\ \\ b=\sqrt{\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x+1)^2}} \\ \\ b=\sqrt{\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{(x+1)^2}} \\ \\ b=\sqrt{\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{(x+1)^2}} \\ \\ \boxed{b=\sqrt{\frac{4x}{(x+1)^2}}=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}}$

Agora fazendo:

$\boxed{\frac{a}{b}=\frac{\frac{2}{(x+1)^2}}{\frac{2\sqrt{x}}{x+1}}=\frac{2}{(x+1)^2}.\frac{x+1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}=\frac{\sqrt{x}}{x(x+1)}}$