determine a equação da reta tangente ao grafico de f(x)=x^2 no ponto de abscissa 3

Respostas

respondido por: karismilgrau

Para determinar o coeficiente angular da reta procurada devemos derivar a função:

f(x)=x²

logo, obteremos f'(x) = 2x (utilizando a regra de derivação)

Agora vamos achar a derivada da função no ponto x = 3:

Basta substituir x por 3, na função derivada:

m = f'(3) = 2.3 =6

Já temos o coeficiente angular da reta procurada.

Agora vamos determinar as coordenadas do ponto de tangência.

Já temos a abscissa: 3

A ordenada será obtida substituindo x por 3 na função original:

f(3) = 3² = 9

Então a reta tangente tem coeficiente angular igual a e e passa no ponto P(3, 9)

Agora vamos achar a equação reduzida da reta:

Primeiro determinamos a equação fundamental que é do tipo:

y - yp = m (x - xp)

Substituindo:

y - 9 = 6 (x - 3)

y - 9 = 6 - 18

y = 6x - 18 + 9

y = 6x - 9

Esta é a equação da reta procurada.

respondido por: solkarped

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial do segundo grau - função quadrática - pelo ponto dado é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 6x - 9\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x) = x^{2}\\x = 3\end{cases}$

Para calcular a equação da reta tangente ao gráfico da referida função pelo ponto de abscissa "-2" devemos utilizar a equação da reta em sua forma "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x- x_{T})\end{gathered}$}$

Sabendo que:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$}$

Além disso, sabemos também que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de abscissa especificada, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$}$