Question

Ao traçar a reta r, paralela ao eixo das abcissas passando por um ponto do plano cartesiano ,intersecta-se o gráfico da função real f(x)=x²-6x+11 nos pontos A e B, como mostra a figura. Sabe-se que o segmento AB tem comprimento 4. Assim, a distância de AB ao eixo das abcissas é:

Answer 1

não temos o gráfico para saber onde a reta r está, então vamos deduzir algumas coisas: 
Para saber a localização de f(x), vamos calcular o Δ: 
Δ=(-6)²-4(1)(11) = 36-44 
Δ = -8 
Isso indica que f(x) não tem raiz real, ié, não cruza o eixo das abscissas! Então, como necessariamente a reta r cruza com f(x) nos pontos A e B, r está acima do vértice da parábola. Digamos que a reta r cruza o eixo y no ponto (0,n), n é um nº que precisamos calcular, é a resposta. 
Vamos calcular o Vértice V da parábola: 
Xv=-b/2a =-(-6)/2 = +3 
Yv=-Δ/4a =-(-8)/4 = +2 
O ponto V tem coordenadas V(2,3). Este é o ponto mais baixo da parábola(veja que ele está situado acima do eixo x, por isso não o cruza, como já havíamos descoberto ao calcular o delta. 
Agora, vamos usar um pouco de Geometria Analítica(distância entre pontos): 
Nos foi dado que a distância entre os pontos A(Xa,n) e B(Xb,n) é de 4 unidades de comprimento. Com isso, temos que Xb-Xa = 4 
Sabemos também que a coordenada Xv é a média aritmética das raízes da parábola, ou seja, Xv = (Xa+Xb)/2 
Agora vamos criar um artifício: Os pontos A e B seriam raízes se cruzassem o eixo dos x, certo? Ora, esses pontos estão deslocados para cima de "n" unidades. Faz de conta então que Xa e Xb são as raízes da parábola(na verdade não são, pois não cruzam o eixo). 
Daí: 
Xa+Xb =2(Xv) 
Xa+Xb = 6 

Duas equações e duas incógnitas: 
Xa+Xb = 6 + 
-Xa+Xb = 4 
---------------- 
2Xb = 10 
Xb = 5 

Xa =6-Xb 
Xa = 1 

Então, as coordenadas de A são (1,n) e de B são (5,n). 
Finalmente, para saber o valor de n, substituiremos o valor das raízes fictícias em f(x). 
De fato: 
f(1) =1²-6(1)+11 = 1-6+11 
n = 6 

Para verificarmos a resposta, façamos f(5): 
f(5) =5²-6(5)+11 
n = 25-30+11 
n = 6