Question

Resolva a equação LaTeX: 2sen^2 x-3cosx-3=02sen2x−3cosx−3=0 no intervalo LaTeX: 0\leq x \leq 2\pi0≤x≤2π.

Answer 1

Queremos resolver a equação 2sen²(x) - 3cos(x) - 3 = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

Sabemos da relação fundamental da trigonometria que sen²(x) + cos²(x) = 1.

Sendo assim, podemos dizer que: sen²(x) = 1 - cos²(x).

Daí,

2(1 - cos²(x)) - 3cos(x) - 3 = 0

2 - 2cos²(x) - 3cos(x) - 3 = 0

2cos²(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Considere que y = cos(x).

Sendo assim, temos que:

2y² + 3y + 1 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = 3² - 4.2.1

Δ = 9 - 8

Δ = 1

$y=\frac{-3+-\sqrt{1}}{2.2}$

$y=\frac{-3+-1}{4}$

$y'=\frac{-3-1}{4}=-1$

$y''=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2}$.

Assim,

se y = -1, então cos(x) = -1 ∴ x = π;

se y = -1/2, então cos(x) = -1/2 ∴ x = 2π/3 ou x = 4π/3.

Portanto, a soluções da equação são: π, 2π/3 e 4π/3.