Respostas
Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração:
Considere as proporções:
e
Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:
Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos:
Exemplo:
Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
Solução:
Assim:
x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.
Logo, x=36 e y=48.
2ª propriedade
Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração:
Considere as proporções:
e
Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:
Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos
(Mult. os 2 membros por -1)
Exemplo:
Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
Solução:
Pela 2ª propriedade, temos que:
x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.
Logo, x=30 e y=12.
3ª propriedade:
Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
4ª propriedade:
Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
Permutando os meios, temos:
Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
Permutando os meios, finalmente obtemos:
Exemplo:
Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção propor55.gif (190 bytes).
Solução:
Pela 4ª propriedade, temos que:
5ª propriedade:
Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração:
Considere a proporção:
Multiplicando os dois membros por propor51.gif (137 bytes), temos:
Assim:
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo: