Respostas
Para calcular a distância entre o ponto A e a reta r vamos, primeiramente, determinar a equação do plano que é perpendicular a r e que passa por A.
De acordo com as equações paramétricas da reta r, temos que o seu vetor direção é u = (4,1,2). Perceba que esse vetor será normal ao plano.
Sendo P = (x,y,z), temos que AP = (x - 2, y - 1, z - 4).
Então,
(x - 2, y - 1, z - 4).(4,1,2) = 0
4x - 8 + y - 1 + 2z - 8 = 0
4x + y + 2z - 17 = 0.
Agora, precisamos determinar um ponto B onde r intersecta o plano encontrado acima.
Sendo assim, temos que:
4(4t + 3) + t - 1 + 2(2t + 3) - 17 = 0
16t + 12 + t - 1 + 4t + 6 - 17 = 0
21t = 0
t = 0
Assim, B = (3,-1,3).
Agora, basta calcular a distância entre A e B:
d² = (3 - 2)² + (-1 - 1)² + (3 - 4)²
d² = 1 + 4 + 1
d² = 6
d = √6.