Question

Os triângulos a seguir possuem o mesmo ângulo α, com tg α=k.
A medida da maior hipotenusa vale b, e a dos segmentos AB e BC vale a. 

O valor de b em função de a e k é:
(A) ak²
(B) 2ak²
(C) a(1+k²)
(D) 2a(1+k²)

Answer 1

Considere a figura abaixo.

Perceba que os triângulos ABD e ACE são semelhantes. Sendo assim, temos que:

$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$

$\frac{AD}{a}= \frac{AD+DE}{2a}$

2AD = AD + DE

AD = DE.

Além disso, no triângulo ABD temos que:

$tg(\alpha)=\frac{DB}{a}$

DB = ka.

Assim, utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD:

AD² = a² + (ka)²

AD² = a² + k².a²

AD² = a²(1 + k²)

AD = a√(1 + k²) = DE.

Os triângulos ACE e AEF também são semelhantes.

Sendo assim,

$\frac{AF}{AE}= \frac{AE}{AC}$

$\frac{b}{2a\sqrt{1+k^2}}= \frac{2a\sqrt{1+k^2}}{2a}$

b = 2a(1 + k²).

Portanto, a alternativa correta é a letra d).