Question

Encontre todos os valores da constante k para os quais a função é contínua em toda reta real.

kx-1 , se x ≤ 2

k²x²-1 , se x > 2

Answer 1

Para que a função seja contínua em toda reta real, então a mesma tem que ser contínua em x = 2.

Sabemos que para uma função ser contínua, a seguinte relação é válida:

$\lim_{x \to a^{+}} f(x) =\lim_{x \to a^{-}} f(x)=f(a)$.

Sendo $f(x)=\left \{ {{kx-1, x\leq2 } \atop {k^2x^2-1, x>2} \right.$, temos que:

f(2) = 2k - 1

$\lim_{x \to2^{+}} k^2x^2-1 = 4k^2-1$

$\lim_{x \to2^{-}} kx-1 = 2k-1$.

Daí, obtemos:

4k² - 1 = 2k - 1

4k² - 2k = 0

2k² - k = 0

Colocando k em evidência:

k(2k - 1) = 0

k = 0 ou k = 1/2.

Portanto, para que a função f seja contínua em toda reta real, k pode ser igual a 0 ou igual a 1/2.