Question

Uma empresa tem o custo para produzir x bens por semana dado por C(x) = 10−6x3 − 3×10−3x2 +6x+1000. O preco para que x bens possam ser vendidos semanalmente tem demanda p = 12−15×10−4x. Determine o volume e o preco de venda para que o lucro seja maximo.

Answer 1

Olá!

Temos que a função Lucro é dada pela subtração da função Custo da função Receita:

L(x) = R(x) - C(x)

A função Receita é dada por:

R(x) = p.x

onde p é o preço do bem e x é a quantidade vendida.

Assim, teremos que a função Receita será:

$R(x) = (12-15.10^{-4}x).x = 12x - 15.10^{-4}x^{2}$

Substituindo na primeira equação, teremos que a função Lucro será:

$L(x) = 12x - 15.10^{-4}x^{2} - 10^{-6}x^{3} + 3.10^{-3}x^{2}-6x-1000$

$L(x) = - 10^{-6}x^{3} + 15.10^{-4}x^{2} + 6x - 1000$

Temos que ao derivar a função Lucro e igualarmos sua derivada a zero, teremos quando a mesma será máxima ou minima. Logo:

$L'(x) = - 3.10^{-6}x^{2} + 30.10^{-4}x + 6$

Sendo que as raízes dessa função serão x = -1000 e x = 2000.

Como não faz sentido a raiz negativa, teremos que o Lucro será máximo quando x for igual a 2000 unidades.

Sendo assim, o preço deve ser $p = 12-15.10^{-4}.2000 = 9,00$

Espero ter ajudado!