Question

x pertence a [0, 2pi]

Answer 1

Dada equação:
$\sin(x) . \tan(x) . \sec(x) = \cos(x) . \cot(x) . \csc(x) \\ \\ \sin(x) . \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } . \frac{1}{ \cos(x)} = \cos(x) . \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } . \frac{1}{ \sin(x) } \\ \\ \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ { \cos(x) }^{2} } = \frac{ { \cos(x) }^{2} }{ { \sin(x) }^{2} } \\ \\ { \tan(x) }^{2} = { \cot(x) }^{2}$
Usando algumas relações fundamentais temos:
${ \csc(x) }^{2} - 1 = { \sec(x) }^{2} - 1 \\ \\ \ { \csc(x) }^{2} = { \sec(x) }^{2} \\ \\ \frac{1}{ { \sin(x) }^{2} } = \frac{1}{ { \cos(x) }^{2} } \\ \\ \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ { \cos(x) }^{2} } = 1 \\ \\ { \tan(x) }^{2} = 1 \\ \\ \tan( x ) = \frac{ + }{ - } 1$
Sendo assim,temos 4 soluções nesse intervalo,sendo duas positivas,e duas negativas:
$s = ( \frac{\pi}{4} )( \frac{3\pi}{4})( \frac{5\pi}{4} )( \frac{7\pi}{4} )$
Espero ter ajudado.