Question

Demonstre a fórmula da lei dos cossenos a partir da figura abaixo:

Answer 1

Olá!


Quando traçamos a altura h, formamos 2 triângulos retângulos, assim calculamos separadamente o teorema de Pitágoras.

Aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, c^2 = h^2 + m^2.

Passamos o h^2 para o outro lado e fazemos o mesmo para o c^2.

-h^2 = -c^2 + m^2

h^2 = c^2 - m^2

Aplicamos novamente o teorema de Pitágoras no triângulo BCD.

a^2 = h^2 + n^2

n = b - m

a^2 = h^2 + (b - m)^2

Substituimos o h^2 por c^2 - m^2.

a^2 = c^2 - m^2 + (b - m)^2

a^2 = c^2 - m^2 + b^2 - 2bm + m^2

a^2 = c^2 + b^2 - 2bm

A medida do comprimento m pode ser obtida por c . cos Â

Vou explicar por que m = c . cos Â

No triângulo da esquerda, sabemos que a hipotenusa mede c e o cateto adjacente mede m e o cosseno é a razão do cateto adjacente com a hipotenusa.

cos  = m / c

Passamos o c para o outro lado multiplicando.

cos  . c = m

Por isso m = cos  . c

Substituimos m por cos  . c da equação acima.

a^2 = c^2 + b^2 - 2b . c . cos Â

(organizando)

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc . cos Â

E assim forma a fórmula da lei dos cossenos.

Espero ter ajudado, bons estudos!