Question

qual o menor número diferente de 0 pelo qual devo multiplicar o número 240 para obter um cubo perfeito

Answer 1

Bem, creio que não tenha dado todas as informações então vamos considerar que ele pede o menor número NATURAL (Se fosse inteiro, o menor número estaria no infinito dos negativos, se fosse racional, também possuiria infinitas frações) diferente de 0. Analisando a proposta temos uma equação:

$x = \sqrt[3]{240\cdot y} \mapsto y \neq 0 \;\land \;y\in\mathbb{N}$

Agora vamos fazer uma análise. Perceba que qualquer número natural y que você multiplicar por 240, vai terminar em 0. Exemplo: 240 vezes 2 = 480; 240 vezes 5 = 1200. Ou seja, o cubo perfeito tem que terminar em 0. Resumindo ele só pode ser 20,30,40,50,60,70,etc. Logo testando esses valores, você descobre que o menor é 60, pois 60³ dividido por 240, dá um número natural. Em suma:

$\sqrt[3]{240\cdot y}=x \longrightarrow x=60\\ \sqrt[3]{240\cdot y}=60\\\\ y=\frac{60^3}{240} \\ y=900$

Caso tenhamos que provar, podemos fazer da seguinte maneira:

A forma fatorada de 240 é $2^4\cdot 3\cdot 5$, ou seja para que ele seja um cubo perfeito devemos "completar" os expoentes de tal modo que no final todos os expoentes sejam divisíveis por 3 (caso contrário, não sairia da raíz), como ele quer o menor número natural, precisamos apenas chegar ao dividendo mais próximo, que no caso do 2 é o 6, do 3 é o 3 e do 5 é o 3 também. Calculando, acharemos o seguinte:

$x = \sqrt[3]{(2^4\cdot 3\cdot 5)y}\\ x = \sqrt[3]{(2^4\cdot 3\cdot 5)(2^2\cdot 3^2\cdot 5^2)}\\ x = \sqrt[3]{2^6\cdot 3^3\cdot 5^3} =2^2\cdot 3\cdot 5 = 60\\\\ ou\; seja:\\\\ y=2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=900$

Logo o menor número NATURAL que multiplicando 240 dá um cubo perfeito, é 900.