Respostas
Sejam m e n ∈ Z, pela definição de número ímpar existem dois números a e b ímpares tais que:
a = 2m + 1
b = 2n + 1
Elevando-se ao quadrado ambos os ímpares:
a² = (2m + 1)²
b² = (2n + 1)²
E realizando a subtração dos quadrados, sabendo da identidade: a² - b² = (a-b).(a+b),
a² - b² = (2m + 1)² - (2n + 1)²
a² - b² = [(2m + 1) - (2n + 1)].[(2m + 1) + (2n + 1)]
a² - b² = [2.(m + n)].[2.(m + n + 1)]
a² - b² = 4.(m + n).(m + n + 1)
Como o conjunto dos inteiros é fechado para a soma, então existe um k ainda inteiro tal que: k = m + n. Logo, substituindo m + n por k,
a² - b² = 4.k.(k+1)
Uma vez que k+1 > k, ∀ k então k+1 é o inteiro imediatamente posterior a k. Logicamente, como os números pares e ímpares se alternam nos inteiros, isso significa que - independentemente do valor de k - existe apenas um número par além do 4 no produto 4.k.(k+1): ou k ou k + 1.
Consequentemente, caso o par seja k, então existe um p ∈ Z:
k = 2.p ⇒ 4.2.p.(k+1) = 8.p.(k+1)
E caso o par seja (k + 1):
k+1 = 2.p ⇒ 4.k.2.p = 8.k.p
Logo, qualquer que seja o caso concluímos que devido à presença do fator 8,